Специфическим методом построения развитой теории является аксиоматический метод. Впервые он был применен в математике при построении геометрии Евклида, а затем, в ходе исторического развития знаний, стал применяться и в эмпирических науках. Однако здесь аксиоматический метод выступает в особой форме гипотетико-дедуктивного метода построения теории. Рассмотрим, в чем состоит сущность каждого из названных методов.
При аксиоматическом построении теоретического знания сначала задается набор исходных положений, нe требующих доказательства (по крайней мере, в рамках данной системы знания). Эти положения называются аксиомами, или постулатами. Затем из них по определенным правилам строится система выводных предложений. Совокупность исходных аксиом и выведенных на их основе предложений образует аксиоматически построенную теорию.
Аксиомы — это утверждения, доказательства истинности которых не требуется. Логический вывод позволяет переносить истинность аксиом на выводимые из них следствия. Следование определенным, четко зафиксированным правилам вывода позволяет упорядочить процесс рассуждения при развертывании аксиоматической системы, сделать это рассуждение более строгим и корректным.
Аксиоматический метод развивался по мере развития науки. «Начала» Евклида были первой стадией его применения, которая получила название содержательной аксиоматики. Аксиомы вводились здесь на основе уже имеющегося опыта и выбирались как интуитивно очевидные положения. Правила вывода в этой системе также рассматривались как интуитивно очевидные и специально не фиксировались. Все это накладывало определенные ограничения на содержательную аксиоматику.
Эти ограничения содержательно-аксиоматического подхода были преодолены последующим развитием аксиоматического метода, когда был совершен переход от содержательной к формальной и затем к формализованной аксиоматике.
При формальном построении аксиоматической системы уже не ставится требование выбирать только интуитивно очевидные аксиомы, для которых заранее задана область характеризуемых ими объектов. Аксиомы вводятся формально, как описание некоторой системы отношений (не связанных жестко только с одним конкретным видом объектов); термины, фигурирующие в аксиомах, первоначально определяются только через их отношение друг к другу. Тем самым аксиомы в формальной системе рассматриваются как своеобразные определения исходных понятий (терминов). Другого, независимого, определения указанные понятия первоначально не имеют.
Дальнейшее развитие аксиоматического метода привело к третьей стадии — построению формализованных аксиоматических систем.
Формальное рассмотрение аксиом дополняется на этой стадии использованием математической логики как средства, обеспечивающего строгое выведение из них следствий. В результате аксиоматическая система начинает строиться как особый формализованный язык (исчисление). Вводятся исходные знаки — термины, затем указываются правила их соединения в формулы, задается перечень исходных принимаемых без доказательства формул, и, наконец, правила вывода из основных формул производных. Так создается абстрактная знаковая модель, которая затем интерпретируется на самых различных системах объектов.
Построение формализованных аксиоматических систем привело к большим успехам прежде всего в математике и даже породило представление о возможности ее развития чисто формальными средствами. Однако вскоре обнаружилась ограниченность таких представлений. В частности, К. Гёделем в 1931 году была доказана теорема о принципиальной неполноте достаточно развитых формальных систем. Гедель показал, что невозможно построить такую формальную систему, множество выводимых (доказуемых) формул которой охватило бы множество всех содержательно истинных утверждений теории, для формализации которой строится эта формальная система.
Другое важное следствие теоремы Геделя состоит в том, что невозможно решить вопрос о непротиворечивости таких систем их же собственными средствами. Теорема Геделя, а также ряд других исследований но обоснованию математики показали, что аксиоматический метод имеет границы своей применимости. Нельзя, например, всю математику представить как единую аксиоматически построенную систему, хотя это не исключает, конечно, успешной аксиоматизации ее отдельных разделов.
